In einer Zeile:

Federenergie oder Spannungsenergie
ESpann  = 0,5  · D · s2

= 0,5 • Federkonstante • (Auszugslänge zum Quadrat)

Wie kommen wir zu dieser Formel?

Arbeit - im physikalischen Sinne - verrichten wir, wenn wir einen Körper in Kraftrichtung verschieben.  Diese Vorstellung übertragen wir auf den Auszug eines Bogens und den Pfeil, der durch den Bogen abgeschossen, also beschleunigt wird. Wir wissen, dass für die Spannkraft gilt: FSpann = D • s .  Zur Erinnerung: D ist die Federkonstante und hat die Dimension Newton/Auszugslänge = N/m  . Für die Spann-Arbeit oder Spannungsarbeit, WSpann , die wir beim Ausziehen des Bogens verrichten gilt.

Spannungsarbeit = Spannkraft • Weg = (Federkonstante • Weg) • Weg
also als Formel
WSpann = FSpann • s= D • s • s =D • s2 

Einfacher Fall: Wir nehmen einfach an, dass stets die maximale Spannkraft, also die Kraft bei vollem Auszug wirkt.

FSpann • s  das kann doch auch eine Flächenformel für ein Rechteck mit den Seitenlängen FSpann und s sein. Das wäre das rote Rechteck in folgender Grafik:

Allerdings ändert sich die Spannkraft beim Ausziehen.
Elastischer oder proportionaler Fall: F(s)  =  D s . Wir tragen diese Formel für D = 1000 N/m  in ein Diagramm ein und vergleichen mit dem ersten Fall - rotes Rechteck.  Die Kräfte ändern sich linear längs der blauen Linie,  Diagonale des roten Rechteckes. Also wenn das keine Dreiecksfläche ist, dann gehe ich ins Kloster Kreuzberg.

Also rein grafisch gesehen leiten wir ab.

WSpann = 0,5  • FSpann • s= D • s • s =0,5 • D • s2 , dabei ist FSpann = 1000 N und s = 1 m.

Diese Spannungsarbeit, die wir verrichtet haben ist jetzt in dem Bogen als Energie gespeichert, jedenfalls, solange wir den Zug halten.

Also nochmal in einer Zeile:  Spannungsarbeit WSpann  ist gleich Spannungsenergie ESpann

WSpann =  =0,5 • D • s= ESpann

 

 Hier ist das Ganze noch einmal  in Formelschreibweise: Man nennt diese Beziehung auch das Hookesche Gesetz. ( Achtung auf der Wikipedia Seite wird die Größe Länge nicht mit dem Symbol s, sondern mit l bezeichnet) . Robert Hooke war  Engländer und Zeitgenosse von Newton. Hooke formulierte dieses Gesetz 1678  zum ersten Male und auch wies seine Gültigkeit auch experimentell nach.

 

 

Größe Symbol Einheit

Arbeit =

Kraft • Weg

Kraft  = D·s

 

W

= F · s

=  D· s · s

1 ( (kg · (m/s2 ))· m

= 1 N ·m

= kg · (m2/s2)

 

 1 N · m =  

1 Nm = 1J

1J = 1 Joule

 =

1 Newton-

meter

Höhen-Energie =

Gew.kraft • Höhe

 

Gew.kraft

= m· g

Epot

= F· h 

=  m · g · h

 1 Nm

= 1 Joule

 Und jetzt zu den "physikalischen Tricks" .  Wir können die Spannungsenergie zu 100% in Bewegungsenergie oder zu 100% in Höhenenergie umsetzen. Damit erhalten wir Formeln für die Geschwindigkeit eines Pfeiles und für die maximale Flughöhe eines Pfeiles.